前置知识点（建议先学）
学习状态：
一句话定义
前向过程（forward process）按噪声调度逐步向真实图像添加微小高斯噪声，经 T 步后得到近似纯噪声，且任意时刻 t 的加噪结果有闭式解。
为什么重要
前向过程定义了「要被逆转的对象」：没有它就没有训练目标。它的两个设计量——步数 T 与噪声调度 β_t——直接决定模型难度与出图质量的底层上限；而「任意 t 一步到位的闭式解」是扩散模型可训练的关键工程性质，也是 img2img（kp-012）能从中途注入图像的数学基础。理解调度曲线，还能解释社区调参中「某些步数下画面突然变脏」的现象。
前置知识
kp-003（潜空间：加噪实际发生在潜码上）；高斯分布的线性组合规则（本节推导给出）。
核心概念
- 噪声调度（noise schedule）：每步加噪强度序列 β_1,…,β_T，决定「多快变成纯噪声」。
- α_t 与 ᾱ_t：记 α_t = 1 − β_t，累计量 ᾱ_t = α_1·α_2⋯α_t，是「原始信号保留比例」。
- 信噪比（SNR）：信号方差与噪声方差之比 ᾱ_t/(1−ᾱ_t)，随 t 单调下降。
- 重参数化（reparameterization）：把随机变量表示成「确定性函数 + 独立噪声」，闭式解由此而来。
- 端点条件：ᾱ_T ≈ 0（信号几乎耗尽），ᾱ_1 ≈ 1（第一步几乎无噪）。
原理与机制
前向过程是一个固定（无参数）的马尔可夫链，每一步做轻微高斯扰动：
q(xt | xt−1) = 𝒩( xt ; √(1−βt) · xt−1 , βt I )， t = 1…T
√(1−β_t) 的缩放保证信号方差不发散（方差守恒）。关键性质是任意时刻可一步采样：反复应用高斯「均值相加、方差相加」的叠加规则（归纳推导见下节），得到闭式解：
xt = √ᾱt · x0 + √(1 − ᾱt) · ε， ε ∼ 𝒩(0, I)
直观读法：x_t 是「√ᾱ_t 份原图 + √(1−ᾱ_t) 份噪声」的线性混合，ᾱ_t 从 1 单调滑向 0。调度的选择因此就是在画这条 ᾱ 曲线：DDPM 原始论文用线性调度（β 从 10⁻⁴ 线性升到 0.02，T=1000）；Improved DDPM 发现线性调度在高分辨率下过早摧毁信号，改用余弦调度（cosine schedule），让 ᾱ 在中间段缓慢下降、两端平滑，显著提升小尺寸细节的保真。后续工作（截至 2026-10 的主流实践）进一步关注末端 SNR 是否真正归零，影响采样端亮度稳定性。
公式与推导
两步归纳即可得闭式解。第一步：
xt = √αt xt−1 + √(1−αt) εt，代入 xt−1 = √αt−1 xt−2 + √(1−αt−1) εt−1
⟹ xt = √(αtαt−1) xt−2 + √( αt(1−αt−1) + (1−αt) ) ε̃
第二个噪声项方差为 α_t(1−α_{t−1}) + (1−α_t) = 1 − α_tα_{t−1}（展开即合），两个独立高斯之和仍是高斯。对模式「均值系数相乘、噪声方差补余」作 t 步归纳，得 ᾱ_t 形式的闭式解。自测推导：请亲手展开三步验证方差合并律，这是理解整条链的钥匙。
图示
x₀ 原图→x₁→x₂ …→x₅₀₀ 半噪半图→x_T ≈ 纯噪声
ᾱt 单调递减：线性调度前段下降快（细节先死）；余弦调度中段平缓（细节存活更久，训练信号更均衡）。
直观类比
像复印机「代际复印」：每代复印机都只有 3% 偏差，复印一百代后原件信息消失殆尽；ᾱ_t 就是「第 t 代还能认出原件的比例」。闭式解则像「可以直接计算第 37 代的复印件长什么样」而不必真复印 37 次。
实例或案例
- 取同一张潜码，令 t=0 输出几乎原图，t=250 出现「噪点蒙版下的原图」，t=999 为与种子相关的纯高斯图——这就是 img2img 选取中间时刻注入参考图的原理（kp-012）。
- 线性调度在 512² 分辨率上训练的模型，小物体（远处人脸）细节常弱于余弦调度模型——Improved DDPM 论文的核心实验结论。
常见误区
- 误区一：加噪越快（β 大）训练越高效。信号过早湮灭使大部分 t 的样本几乎不含原图信息，网络在中后段学到的是纯噪声预测，浪费容量且细节差。
- 误区二：x_t 的噪声是「叠加在同一层噪声上」。每步噪声独立，方差按 1−α_tα_{t−1} 规律合并，闭式解中的 ε 是「等效单次抽样」。
- 误区三：ᾱ_T 严格等于 0。只是近似 0；末端残余信号是部分模型（未做 zero-terminal SNR 修正时）生成图亮度整体偏亮的原因之一。
自测题
- 写出 x_t 的闭式解并解释两项含义。
答案要点：x_t = √ᾱ_t x₀ + √(1−ᾱ_t)ε；前者是信号保留部分，后者是等效累积噪声。
- 为什么调度要保证 ᾱ_1 ≈ 1？
答案要点：第一步几乎不加噪，保证 t 链覆盖「无损图像到纯噪声」的完整区间，否则近数据端无训练样本。
- 余弦调度解决了线性调度的什么问题？
答案要点：线性调度在高分辨率下末端 ᾱ 过快趋零，图像细节过早被噪声吞没；余弦调度让 ᾱ 平滑下降，训练更均衡。
与其他知识点的关系
kp-006 在此链上定义反向去噪与训练目标；kp-009 的采样器复用同一 ᾱ 表；kp-012 用闭式解实现中途注入；kp-024 讨论调度与步数对算力的影响。
延伸阅读
DDPM 论文（NeurIPS 2020）第 4 节；Improved DDPM（ICML 2021）第 3 节关于余弦调度的动机与曲线图。